Introducción
A continuación tratamos de explicar algunas
cosas importantes de las transformaciones lineales, tenemos que decir que solo
nos basamos en los temas más importantes, cabe mencionar que solo mencionamos algunos teoremas, ya que en
las transformaciones lineales hay muchos teoremas que se van derivando.
Es un tema muy extenso por
eso nos dimos a la tarea de resumirlo para poder aprender de ellas, los temas
que aborda este ensayo son:
La introducción de las transformaciones
lineales, el núcleo e imagen de las transformaciones lineales, la matriz de una
transformación lineal, y la aplicación
de esta.
Desarrollo
Las transformaciones
lineales son totalmente determinadas gracias a los valores de unas de sus bases
en el espacio. En los espacios de dimensión infinita son los que nos abarca
toda la transformación lineal, pueden ser representadas por una matriz. Y esta
matriz se le asocia su transformación lineal. Hay casos cuando las transformaciones
entre espacios que son finitas no son
lineales, y en estos casos con hipótesis permite aproximarlas con la
suma de una transformación lineal más una constante.
Cuando V y W son espacios
vectoriales reales. La transformación lineal T de V en W le asigna a cada vector v Є V un vector único Tv Є W y están satisfacen
que cada u y v en V y cada
escalar α.
Esto implica que:
T: V → W para indicar que T
toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto
es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su
imagen.
Se escriben indistintamente
Tv y T (v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la
notación funcional f (x), que se lee “f de x”.
Los espacios vectoriales
complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).
En algunos se manejarán espacios vectoriales reales y, por lo tanto, se eliminará
la palabra “real” en el análisis de los espacios vectoriales y las
transformaciones lineales.
Y su anotación es: el
conjunto de las transformaciones lineales
De V a W por L (V, W)
y si V = W se escribe L (V) en lugar
De L (V, V).
Ahora veremos un
ejemplo:
Sea T: R^2 →R^3 es una función definida por:
T(x, y) = (x + y, x −
y, y).
En R^2 se define una función T mediante
la fórmula Geométricamente:
T toma un vector en R^2 y lo refleja respecto al eje x. Esto se
ilustra en la figura siguiente.
El vector (x, 2y) es
la reflexión respecto al eje x del vector (x, y).
Una vez que se ha
dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R^2 en R^2
.
La definición del
núcleo e imagen es: sea T elemento de L (v, w) de esto se derivan dos puntos:
El conjunto núcleo (T)
es igual a {v Є V|T (v)=0} y a esto se le llama núcleo de T.
El conjunto de imagen
(T) es igual a {T(x) |x Є V} y a esto se le llama imagen de v bajo T, o
simplemente imagen de T.
El teorema de imagen
y núcleo es el siguiente:
Sea T elemento de L (v,
W). El núcleo (T) y la imagen (T) son subespacio de v y w.
La denotación del
núcleo T es; nuT y su fórmula es: nuT=5 {ve V: Tv=0}.
Y la denotación de la
imagen de T es im T y su fórmula es: im T= {w Є W: w=Tv para alguna v e V}.
La representación de
matrices en las transformaciones lineales, se dice, que toda matriz define una
transformación lineal.
Decimos que si A es
una matriz de m*n y T:
R^n R^m están definidas por Tx=aX.
El teorema dice que
sea T:
→
R^n R^m una transformación lineal. Existirá una matriz
única de m*n
Tal que:
Tx=AtX para todo x elemento de Rn.
La matriz de T (o
representación matricial) en el par de bases B1 y B2 se define por:
Conclusión
Explicamos un poco de las
transformaciones lineales lo que debemos dejar en claro son que las transformaciones
lineales deben cumplir ciertas condiciones como dicen el teorema sea T: v→w una
transformación lineal entonces T(0v)=0W esto quiere decir que el neutro se envía
al neutro, o, T(-v)=-T(v), esto quiere decir que envía inversos aditivos en
inversos aditivo y la tercera es cuando T(u-v)=T(u)-T(v), esto quiere decir que
envía restas en restas.
