TRANSFORMACIONES LINEALES

Introducción

 A continuación tratamos de explicar algunas cosas importantes de las transformaciones lineales, tenemos que decir que solo nos basamos en los temas más importantes, cabe mencionar que  solo mencionamos algunos teoremas, ya que en las transformaciones lineales hay muchos teoremas que se van derivando.

Es un tema muy extenso por eso nos dimos a la tarea de resumirlo para poder aprender de ellas, los temas que aborda este ensayo son:

La introducción de las transformaciones lineales, el núcleo e imagen de las transformaciones lineales, la matriz de una transformación  lineal, y la aplicación de esta. 

Desarrollo

Las transformaciones lineales son totalmente determinadas gracias a los valores de unas de sus bases en el espacio. En los espacios de dimensión infinita son los que nos abarca toda la transformación lineal, pueden ser representadas por una matriz. Y esta matriz se le asocia su transformación lineal. Hay casos cuando las transformaciones entre espacios que son finitas no son  lineales, y en estos casos con hipótesis permite aproximarlas con la suma de una transformación lineal más una constante.

Cuando V y W son espacios vectoriales reales. La transformación lineal T de V en W le asigna a  cada vector  v Є V un vector único Tv Є W y están  satisfacen  que cada   u y v en V y cada escalar α.

Esto implica que:

T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

Se escriben indistintamente Tv y T (v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f (x), que se lee “f de x”.

Los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos). En algunos se manejarán espacios vectoriales reales y, por lo tanto, se eliminará la palabra “real” en el análisis de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales.

Y su anotación es: el conjunto de las transformaciones lineales

De V a W por L (V, W) y si V = W se escribe L (V) en lugar

De L (V, V). 

Ahora veremos un ejemplo:

Sea T: R^2 →R^3 es una función definida por:

T(x, y) = (x + y, x − y, y).

En R^2 se define una función T mediante la fórmula Geométricamente: 

T toma un vector en R^2  y lo refleja respecto al eje x. Esto se ilustra en la figura siguiente.

El vector (x, 2y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x, y).

Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R^2 en R^2   .

La definición del núcleo e imagen es: sea T elemento de L (v, w) de esto se derivan dos puntos:

El conjunto núcleo (T) es igual a {v Є V|T (v)=0} y a esto se le llama núcleo de T.

El conjunto de imagen (T) es igual a {T(x) |x Є V} y a esto se le llama imagen de v bajo T, o simplemente imagen de T.

El teorema de imagen y núcleo es el siguiente:

Sea T elemento de L (v, W). El núcleo (T) y la imagen (T) son subespacio de v y w.

La denotación del núcleo T es; nuT y su fórmula es: nuT=5 {ve V: Tv=0}.

Y la denotación de la imagen de T es im T y su fórmula es: im T= {w Є  W: w=Tv para alguna v e V}.

La representación de matrices en las transformaciones lineales, se dice, que toda matriz define una transformación lineal.

Decimos que si A es una matriz de m*n y T:  R^n  R^m están definidas por Tx=aX.

El teorema dice que sea T: →  R^n R^m una transformación lineal. Existirá una matriz única de m*n

Tal que:

          Tx=AtX para todo x elemento de Rn.

La matriz de T (o representación matricial) en el par de bases B1 y  B2 se define por:

Conclusión

Explicamos un poco de las transformaciones lineales lo que debemos dejar en claro son que las transformaciones lineales deben cumplir ciertas condiciones como dicen el teorema sea T: v→w una transformación lineal entonces T(0v)=0W esto quiere decir que el neutro se envía al neutro, o, T(-v)=-T(v), esto quiere decir que envía inversos aditivos en inversos aditivo y la tercera es cuando T(u-v)=T(u)-T(v), esto quiere decir que envía restas en restas.